化二次型为标准型

正交变换法

基础知识

• 二次型对应一个实对称矩阵
• 对角矩阵对应二次型的标准型
• 实对称矩阵一定可以化成对角阵

步骤

• 求出二次型的矩阵A
• 求出A的所有特征值
• 求出特征值对应的特征向量
• 将特征向量正交化、单位化作为列向量组成矩阵C
• 作正交变换x=Cy得到f的标准型

配方法

初等变换法

图

得到对角矩阵和可逆矩阵C

由对角矩阵写出关于y的标准二次型